数学 · 2021年7月10日 0

图形和几何体公式(1)

一直以来,有很多关于图形和几何体的公式都广为流行且非常受欢迎.公式表示各个量之间的一定关系,部分实用的公式使生活变得更加简单,本文不讨论数学问题,仅介绍一些有趣的关于圆的公式.

任何涉及圆的公式都会包括无理数(即无a限不循环小数)π,任意一个圆的周长除以直径总会得到π,它约等于3.1416,精确度为99.99976%,在计算时通常取3.14,π=3.14的精确度为99.95%;祖冲之给出的π的约率为7/22,精确度为99.96%,密率为355/113,它惊人精密地接近圆周率,准确到六位小数,涉及到“用有理数最佳逼近实数”的问题,这一发现比欧洲人早了一千年.

认识相关公式从字母开始:r=半径,d=直径,c=周长,Q=中心角.
d=2r,c=πd或c=2πr,

两个圆套在一起就成了圆环,它的面积是大圆的面积减去小圆的面积,其中,R=大圆半径,r=小圆半径,提取π后得到:

在与圆形有关的多面体中,圆柱体的计算较为简单,只需要知道它的r(底面半径)和h(高).
关于体积我们只需要求出它的底面积,再乘高即可.

不难看出,两个圆面积不变,剩余的长方形的高为h,长为圆的周长c,而c=2πr,经过简化后:
S柱=2πr(h+r).

一个锥的顶点若正好位于底部圆心的正上方,它称为正圆锥体,将它放入能容纳它的最小的圆柱体里面,它会精确地占据圆柱体的空间,而

连接圆锥顶点到底面圆的边缘任意一点的线称为母线,用l表示,求圆锥的表面积不用做复杂的sin和tan运算,它其实就是一个扇形和圆形.

前面说到扇形面积与所在圆的面积之比等于圆心角占360O的比,但扇形面积类似于三角形面积,是弧长与半径的乘积的一半,由圆锥展开后得到的扇形弧长为圆形的周长,半径为原圆锥的母线,所以

将一个球体放入能容纳它的最小的圆柱体里面,它会精确地占据圆柱体的空间2/3,这个不寻常的发现来自阿基米德,这个最令他感到骄傲的成就刻在了他的墓碑上.

球体的表面积因为弯折和不规则看似难求,但根本难不倒数学家,他们算出球的表面积等于能容纳它的最小的圆柱体的侧面积,即上图纯黑色部分.
S球=4πr2.