数学 · 2021年7月10日 0

绝对值

本次,我们从绝对值的代数意义和几何意义讲解一些有意思的题目.
先认识一下绝对值.
绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.实数a的绝对值是:|a|.
显然,任何数的绝对值都是非负数,即|a|≥0,所以绝对值具有非负性.
那么,|10|=10, |-10|=10, |0|=0,多个含绝对值的数字运算题目就不举例了,很简单.

先讲代数部分,由一个有趣的公式引入.利用绝对值可以求两个数中的最大值,若这两个数为x,y,那么较大的一个可以这么求:

例一:若|x+1|与|y+2|互为相反数,试求(x+y)2021

说明:任何数的绝对值都是非负数,若两个或两个以上的非负数的和为0,则每一个非负数都为0.
解:

所以化简含绝对值的式子,关键是去绝对值符号.先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数a的正负(即a>0、a<0还是a=0).如果已知条件没有给出其正负,应该分类讨论(即分别讨论a<0和a=0的情形).分类思想是数学中一种非常重要的思想.

再看一道相同的题目,计算量稍有增加.同样地分类讨论即可.

若有多层绝对值符号,通常从最内层开始,逐层向外化去绝对值符号.
前面的题目都或多或少地提及字母(x)的取值范围,但有的题型可能给出数轴(仔细看图),也可能不给(分类讨论).

当遇到的问题类似于|x+5|的化简时,去掉一个绝对值符号很容易,只需要分为x<-5与x≥-5两种情况来讨论.这里的x=-5是使x+5=0的x值,我们称它为x+5的一个零点.若题目中有两个由绝对值符号组成的多项式,运用零点来分段进行分类讨论是很简单的解题方法.

还有很多更复杂的题目,空间有限就不解答了,留给大家运用零分段法自己动笔算: